Определение параллелограмма. Свойство диагоналей параллелограмма
Доказательство
Первым делом проведем диагональ AC . Получаются два треугольника: ABC и ADC .
Так как ABCD — параллелограмм, то справедливо следующее:
AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 как лежащие накрест.
AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 как лежащие накрест.
Следовательно, \triangle ABC = \triangle ADC (по второму признаку: и AC — общая).
И, значит, \triangle ABC = \triangle ADC , то AB = CD и AD = BC .
Доказано!
2. Противоположные углы тождественны.
Доказательство
Согласно доказательству свойства 1 мы знаем, что \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4 . Таким образом сумма противоположных углов равна: \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4 . Учитывая, что \triangle ABC = \triangle ADC получаем \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .
Доказано!
3. Диагонали разделены пополам точкой пересечения.
Доказательство
Проведем еще одну диагональ.
По свойству 1 мы знаем, что противоположные стороны тождественны: AB = CD . Еще раз отметим накрест лежащие равные углы.
Таким образом видно, что \triangle AOB = \triangle COD по второму признаку равенства треугольников (два угла и сторона между ними). То есть, BO = OD (напротив углов \angle 2 и \angle 1 ) и AO = OC (напротив углов \angle 3 и \angle 4 соответственно).
Доказано!
Признаки параллелограмма
Если лишь один признак в вашей задаче присутствует, то фигура является параллелограммом и можно использовать, все свойства данной фигуры.
Для лучшего запоминания, заметим, что признак параллелограмма будет отвечать на следующий вопрос — «как узнать?» . То есть, как узнать, что заданная фигура это параллелограмм.
1. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны.
AB = CD ; AB || CD \Rightarrow ABCD — параллелограмм.
Доказательство
Рассмотрим подробнее. Почему AD || BC ?
\triangle ABC = \triangle ADC по свойству 1 : AB = CD , AC — общая и \angle 1 = \angle 2 как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC .
Но если \triangle ABC = \triangle ADC , то \angle 3 = \angle 4 (лежат напротив AB и CD соответственно). И следовательно AD || BC (\angle 3 и \angle 4 - накрест лежащие тоже равны).
Первый признак верен.
2. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные стороны равны.
AB = CD , AD = BC \Rightarrow ABCD — параллелограмм.
Доказательство
Рассмотрим данный признак. Еще раз проведем диагональ AC .
По свойству 1 \triangle ABC = \triangle ACD .
Из этого следует, что: \angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC и \angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD , то есть ABCD — параллелограмм.
Второй признак верен.
3. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные углы равны.
\angle A = \angle C , \angle B = \angle D \Rightarrow ABCD — параллелограмм.
Доказательство
2 \alpha + 2 \beta = 360^{\circ} (поскольку ABCD — четырехугольник, а \angle A = \angle C , \angle B = \angle D по условию).
Получается, \alpha + \beta = 180^{\circ} . Но \alpha и \beta являются внутренними односторонними при секущей AB .
И то, что \alpha + \beta = 180^{\circ} говорит и о том, что AD || BC .
При этом \alpha и \beta — внутренние односторонние при секущей AD . И это значит AB || CD .
Третий признак верен.
4. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого диагонали разделены точкой пересечения пополам.
AO = OC ; BO = OD \Rightarrow параллелограмм.
Доказательство
BO = OD ; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 как вертикальные \Rightarrow \triangle AOB = \triangle COD , \Rightarrow \angle 3 = \angle 4 , и \Rightarrow AB || CD .
Аналогично BO = OD ; AO = OC , \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8 , и \Rightarrow AD || BC .
Четвертый признак верен.
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
1. Определение параллелограмма.
Если пару параллельных прямых пересечём другой парой параллельных прямых, то получим четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
В четырёхугольниках ABDС и ЕFNМ (рис. 224) ВD || АС и AB || СD;
ЕF || МN и ЕМ || FN.
Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.
2. Свойства параллелограмма.
Теорема . Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
Пусть имеется параллелограмм ABDС (рис. 225), в котором AB || СD и АС || ВD.
Требуется доказать, что диагональ делит его на два равных треугольника.
Проведём в параллелограмме ABDС диагональ СВ. Докажем, что \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ.
Сторона СВ общая для этих треугольников; ∠ABC = ∠BCD, как внутренние накрест лежащие углы при параллельных AB и СD и секущей СВ; ∠ACB = ∠СВD, тоже как внутренние накрест лежащие углы при параллельных АС и ВD и секущей CB.
Отсюда \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ.
Таким же путём можно доказать, что диагональ AD разделит параллелограмм на два равных треугольника АСD и ABD.
Следствия:
1 . Противоположные углы параллелограмма равны между собой.
∠А = ∠D, это следует из равенства треугольников CAB и СDВ.
Аналогично и ∠С = ∠В.
2. Противоположные стороны параллелограмма равны между собой.
AB = СD и АС = ВD, так как это стороны равных треугольников и лежат против равных углов.
Теорема 2. Диагонали параллелограмма в точке их пересечения делятся пополам.
Пусть BC и AD - диагонали параллелограмма AВDС (рис. 226). Докажем, что АО = OD и СО = OB.
Для этого сравним какую-нибудь пару противоположно расположенных треугольников, например \(\Delta\)AOB и \(\Delta\)СОD.
В этих треугольниках AB = СD, как противоположные стороны параллелограмма;
∠1 = ∠2, как углы внутренние накрест лежащие при параллельных AB и СD и секущей AD;
∠3 = ∠4 по той же причине, так как AB || СD и СВ - их секущая.
Отсюда следует, что \(\Delta\)AOB = \(\Delta\)СОD. А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Следовательно, АО = OD и СО = OB.
Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180° .
В параллелограмме ABCD проведем диагональ АС и получим два треугольника ABC и ADC.
Треугольники равны, так как ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (накрест лежащие углы при параллельных прямых), а сторона АС общая.
Из равенства \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)ADC следует, что AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, например углов А и D, равна 180° как односторонних при параллельных прямых.
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
Савинская средняя общеобразовательная школа
Параллелограмм и его новые свойства
Выполнила: ученица 8Б класса
МБОУ Савинская СОШ
Кузнецова Светлана,14 лет
Руководитель: учитель математики
Тульчевская Н.А.
п. Савино
Ивановская область, Россия
2016г.
I . Введение __________________________________________________стр 3
II . Из истории параллелограмма ___________________________________стр 4
III Дополнительные свойства параллелограмма ______________________стр 4
IV . Доказательство свойств _____________________________________ стр 5
V . Решение задач с использованием дополнительных свойств __________стр 8
VI . Применение свойств параллелограмма в жизни ___________________стр 11
VII . Заключение _________________________________________________стр 12
VIII . Литература _________________________________________________стр 13
Введение
"Среди равных умов
при одинаковости прочих условий
превосходит тот, кто знает геометрию"
(Блез Паскаль).
Во время изучения темы «Параллелограмм» на уроках геометрии мы рассмотрели два свойства параллелограмма и три признака, но когда мы начали решать задачи, то оказалось, что этого недостаточно.
У меня возник вопрос, а есть ли у параллелограмма еще свойства, и как они помогут при решении задач.
И я решила изучить дополнительные свойства параллелограмма и показать, как их можно применить для решения задач.
Предмет исследования : параллелограмм
Объект исследования
: свойства параллелограмма
Цель работы:
формулировка и доказательство дополнительных свойств параллелограмма, которые не изучаются в школе;
применение этих свойств для решения задач.
Задачи:
Изучить историю возникновения параллелограмма и историю развития его свойств;
Найти дополнительную литературу по исследуемому вопросу;
Изучить дополнительные свойства параллелограмма и доказать их;
Показать применение этих свойств для решения задач;
Рассмотреть применение свойств параллелограмма в жизни.
Методы исследования:
Работа с учебной и научно – популярной литературой, ресурсами сети Интернет;
Изучение теоретического материала;
Выделение круга задач, которые можно решать с использованием дополнительных свойств параллелограмма;
Наблюдение, сравнение, анализ, аналогия.
Продолжительность исследования : 3 месяца: январь-март 2016г
Из истории параллелограмма
В учебнике геометрии мы читаем следующее определение параллелограмма: параллелограмм – это такой четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны
Слово «параллелограмм» переводится как «параллельные линии» (от греческих слов Parallelos - параллельный и gramme - линия), этот термин был введен Евклидом. В своей книге «Начала» Евклид доказал следующие свойства параллелограмма: противоположные стороны и углы параллелограмма равны, а диагональ делит его пополам. О точке пересечения параллелограмма Евклид не упоминает. Только к концу средних веков была разработана полная теория параллелограммов И лишь в XVII веке в учебниках появились теоремы о параллелограммах, которые доказываются с помощью теоремы Евклида о свойствах параллелограмма.
III Дополнительные свойства параллелограмма
В учебнике по геометрии даны только 2 свойства параллелограмма:
Противоположные углы и стороны равны
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам
В различных источниках по геометрии можно встретить следующие дополнительные свойства:
Сумма соседних углов параллелограмма равна 180 0
Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник;
Биссектрисы противоположных углов параллелограмма лежат на параллельных прямых;
Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом;
Биссектрисы всех углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник;
Расстояния от противоположных углов параллелограмма до одной и той же его диагонали равны.
Если в параллелограмме соединить противоположные вершины с серединами противоположных сторон, то получится еще один параллелограмм.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон.
Если в параллелограмме из двух противоположных углов провести высоты, то получится прямоугольник.
IV Доказательство свойств параллелограмма
Сумма соседних углов параллелограмма равна 180 0
Дано :
ABCD – параллелограмм
Доказать:
A
+
B
=
Доказательство:
А и
B
–внутренние односторонние углы при параллельных прямых ВС АD
и секущей АВ, значит,
A
+
B
=
2
Дано: АBCD - параллелограмм,
АК -биссектриса
А.
Доказать: АВК – равнобедренный
Доказательство:
1)
1=
3 (накрест лежащие при ВСAD
и секущей AK
),
2)
2=
3 т. к. АК – биссектриса,
значит 1=
2.
3) АВК – равнобедренный т. к. 2 угла треугольника равны
. Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник3
Дано: АВСD – параллелограмм,
АК – биссектриса A,
СР - биссектриса C.
Доказать: АК ║ СР
Доказательство:
1) 1=2 т. к. АК-биссектриса
2) 4=5 т.к. СР – биссектриса
3) 3=1 (накрест лежащие углы при
ВС ║ АD и АК-секущей),
4) A =C (по свойству параллелограмма), значит2=3=4=5.
4) Из п. 3 и 4 следует, что 1=4, а эти углы соответственные при прямых АК и СР и секущей ВС,
значит, АК ║ СР (по признаку параллельности прямых)
. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма лежат на параллельных прямыхБиссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом
Дано: АВСD - параллелограмм,
АК-биссектриса A,
DР-биссектриса D
Доказать: DР АК.
Доказательство:
1) 1=2, т.к. АК - биссектриса
Пусть, 1=2=x, тогда А=2x,
2) 3=4, т.к. D Р – биссектриса
Пусть, 3=4= у, тогда D =2y
3) A +D =180 0 , т.к. сумма соседних углов параллелограмма равна 180
2) Рассмотрим A ОD
1+3=90 0 , тогда
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)
5. Биссектрисы всех углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник
Дано: АВСD - параллелограмм, АК-биссектриса A,
DР-биссектриса D,
CM -биссектриса C ,
BF -биссектриса B .
Доказать : KRNS -прямоугольник
Доказательство:
Исходя из предыдущего свойства 8=7=6=5=90 0 ,
значит KRNS -прямоугольник.
Расстояния от противоположных углов параллелограмма до одной и той же его диагонали равны.
Дано: ABCD-параллелограмм, АС-диагональ.
ВК АС, DPAC
Доказать: BК=DР
Доказательство: 1)DCР=КAB, как внутренние накрест лежащие при АВ ║ СD и секущей АС.
2) AКB=CDР (по стороне и двум прилежащим к ней углам АВ=СD CD Р=AB К).
А в равных треугольниках соответственные стороны равны, значит DР=BК.
Если в параллелограмме соединить противоположные вершины с серединами противоположных сторон, то получится еще один параллелограмм.
Дано: ABCD-параллелограмм.
Доказать: ВКDР – параллелограмм.
Доказательство:
1) BР=КD (AD=BC, точки К и Р
делят эти стороны пополам)
2) ВР ║ КD (лежат на АD BC)
Если в четырехугольнике противоположные стороны равны и параллельны, значит, этот четырехугольник -параллелограмм.
Если в параллелограмме из двух противоположных углов провести высоты, то получится прямоугольник.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон.
Дано: ABCD – параллелограмм. BD и AC - диагонали.
Доказать: АС 2 +ВD 2 =2(AB 2 + AD 2 )
Доказательство:
1)АСК:
AC
²=
+
2)B Р D : BD 2 = B Р 2 + Р D 2 (по теореме Пифагора)
3) AC ²+ BD ²=СК²+ A К²+ B Р²+Р D ²
4) СК = ВР = Н (высота)
5) АС 2 +В D 2 = H 2 + A К 2 + H 2 +Р D 2
6) Пусть D К= A Р=х , тогда C К D : H 2 = CD 2 – х 2 по теореме Пифагора)
7) АС²+В D ² = С D 2 - х²+ АК 1 ²+ CD 2 -х 2 +Р D 2 ,
АС²+В D ²=2С D 2 -2х 2 + A К 2 +Р D 2
8) A К =AD+ х , Р D=AD- х ,
АС²+В D ² =2 CD 2 -2х 2 +(AD +х) 2 +(AD -х) 2 ,
АС
²+
В
D²=2
С
D²-2
х
² +AD
2
+2AD
х
+
х
2
+AD
2
-2AD
х
+
х
2
,
АС
²+
В
D²=2CD
2
+2AD
2
=2(CD
2
+AD
2
).
V . Решение задач с использованием этих свойств
Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5 . Найдите его большую сторону.
Дано: ABCD – параллелограмм,
АК – биссектриса
А,
D
К – биссектриса
D
, АВ=5
Найти : ВС
ешениеРешение
Т.к. АК - биссектриса
А, то АВК – равнобедренный.
Т.к. D
К – биссектриса
D
, то DCK
- равнобедренный
DC =C К= 5
Тогда, ВС=ВК+СК=5+5 = 10
Ответ: 10
2. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см.
1 случай
Дано:
А,
ВК=14 см, КС=7 см
Найти: Р параллелограмма
Решение
ВС=ВК+КС=14+7=21 (см)
Т.к. АК – биссектриса
А, то АВК – равнобедренный.
АВ=ВК= 14 см
Тогда Р=2 (14+21) =70 (см)
случайДано: ABCD – параллелограмм,
D
К – биссектриса
D
,
ВК=14 см, КС=7 см
Найти : Р параллелограмма
Решение
ВС=ВК+КС=14+7=21 (см)
Т.к. D
К – биссектриса
D
, то DCK
- равнобедренный
DC =C К= 7
Тогда, Р= 2 (21+7) = 56 (см)
Ответ: 70см или 56 см
3.Стороны параллелограмма равны 10 см и 3 см. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.
1 случай: биссектрисы пересекаются вне параллелограмма
Дано:
ABCD
– параллелограмм, АК – биссектриса
А,
D
К – биссектриса
D
, АВ=3 см, ВС=10 см
Найти : ВМ, МN , NC
Решение
Т.к. АМ - биссектриса
А, то АВМ – равнобедренный.
Т.к. DN
– биссектриса
D
, то DCN
- равнобедренный
DC =CN = 3
Тогда, МN = 10 – (BM +NC ) = 10 – (3+3)=4 см
2 случай: биссектрисы пересекаются внутри параллелограмма
Т.к. АN
- биссектриса
А, то АВN
– равнобедренный.
АВ=В N = 3 D
А раздвижную решетку – отодвигать на необходимое расстояние в дверном проеме
Параллелограммный механизм - четырёхзвенный механизм, звенья которого составляют параллелограмм. Применяется для реализации поступательного движения шарнирными механизмами.
Параллелограмм с неподвижным звеном - одно звено неподвижно, противоположное совершает качательное движение, оставаясь параллельным неподвижному. Два параллелограмма, соединённых друг за другом, дают конечному звену две степени свободы, оставляя его параллельным неподвижному.
Примеры: стеклоочистители автобусов, погрузчики, штативы, подвесы, автомобильные подвески.
Параллелограмм с неподвижным шарниром - используется свойство параллелограмма сохранять постоянное соотношение расстояний между тремя точками. Пример: чертёжный пантограф - прибор для масштабирования чертежей.
Ромб - все звенья одинаковой длины, приближение (стягивание) пары противоположных шарниров приводит к раздвиганию двух других шарниров. Все звенья работают на сжатие.
Примеры - автомобильный ромбовидный домкрат, трамвайный пантограф.
Ножничный или X-образный механизм , также известный как Нюрнбергские ножницы - вариант ромба - два звена, соединённые посередине шарниром. Достоинства механизма - компактность и простота, недостаток - наличие двух пар скольжения. Два (и более) таких механизма, соединённые последовательно, образуют в середине ромб(ы). Применяется в подъёмниках, детских игрушках.
VII Заключение
Кто с детских лет занимается математикой,
тот развивает внимание, тренирует свой мозг,
свою волю, воспитывает в себе настойчивость
и упорство в достижении цели
А. Маркушевич
В ходе работы я доказала дополнительные свойства параллелограмма.
Я убедилась, что применяя эти свойства, можно решать задачи быстрее.
Я показала, как применяются эти свойства на примерах решения конкретных задач.
Я узнала много нового о параллелограмме, чего нет в нашем учебнике геометрии
Я убедилась в том, что знания геометрии очень важны в жизни на примерах применения свойств параллелограмма.
Цель моей исследовательской работы выполнена.
О том, насколько важны математические знания, говорит тот факт, что была учреждена премия тому, кто издаст книгу о человеке, который всю жизнь прожил без помощи математики. Эту премию до сих пор не получил ни один человек.
VIII Литература
ПогореловА.В. Геометрия 7-9: учебник для общеобразоват. учреждений-М.: Просвещение, 2014г
Л.С.Атанасян и др. Геометрия. Доп. Главы к учебнику 8 кл.: учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч.математики. – М.: Вита-пресс, 2003
Ресурсы сети Интернет
материалы Википедии