Библиографическое описание: Максименко О. В., Пастор В. С., Ворфоломеева П. В., Мозикова К. А., Николаева М. Е., Шмелева О. В. К понятию о Золотом сечении // Юный ученый. — 2016. — №6.1. — С. 35-39..02.2019).



«Геометрия владеет двумя сокровищами:

одно из них - теорема Пифагора,

другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении»

Иоганн Кеплер

Ключевые слова: золотое сечение, золотые пропорции, научный феномен.

Целью нашей работы является исследование источников информации, касающихся «Золотого сечения» в различных областях знаний, выявление закономерностей и нахождение связей между науками, выявление практического смысла Золотого сечения.

Актуальность данного исследования определяется многовековой историей использования золотого сечения в математике и искусстве. То, над чем ломали голову древние, остается актуальным и вызывающим интерес современников.

Во все времена люди пытались находить закономерности в окружающем их мире. Окружали себя предметами «правильной» с их точки зрения формы. Лишь с развитием математики людям удалось измерить «золотое соотношение», которое впоследствии получило название «Золотое сечение».

Золотое сечение - гармоническая пропорция

Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или, другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему (Рис.1).

a : b = b : c

Рис. 1. Деление отрезка по золотым пропорциям

Напомним Вам, что же такое золотое сечение. Наиболее емкое определение золотого сечения гласит, что меньшая часть относится к большей, как большая ко всему целому. Приблизительная его величина - 1,6180339887. В округленном процентном значении пропорции частей целого будут соотноситься как 62 % на 38 %. Это соотношение действует в формах пространства и времени .

Золотой треугольник и прямоугольник

Кроме деления отрезка на неравные части (золотое сечение) рассматривают золотой треугольник и золотой прямоугольник .

Золотой прямоугольник - это прямоугольник, длины сторон которого находятся в золотой пропорции (Рис.2).

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения (Рис.3).

Рис.2. Золотой прямоугольник

Рис.3 Золотой треугольник

Пентакль

В правильной пятиконечной звезде, каждый сегмент делится пересекающим его сегментом в золотом сечении, т. е. отношение синего отрезка к зелёному, красного к синему, зелёного к фиолетовому, равны 1.618 (Рис.4).

Рис.4. Пентаграмма-гигиея

Пифагор утверждал, что пентаграмма, или, как он ее называл, гигиея представляет собой математическое совершенство, так как скрывает в себе золотое сечение. Отношение синего отрезка к зелёному, красного к синему, зелёного к фиолетовому и есть золотая пропорция.

Ряд Фибоначчи

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т. д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих , а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления.

Так, 21: 34 = 0,617

34: 55 = 0,618.

История золотого сечения

Принято считать, что понятие о золотом делении ввёл в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н. э.). Есть предположение, что Пифагор своё знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

Золотые пропорции в частях тела человека

В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования».

Цейзинг измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон (Рис.5).

Рис.5 Золотые пропорции в частях тела человека

Золотое сечение в живой природе

Удивительно, как всего одно математическое понятие встречается во многих разделах человеческого знания. Оно как бы пронизывает все в мире, соединяя между собой гармонию и хаос, математику и искусство .

В биологических исследованиях было показано, что, начиная с вирусов и растений и кончая организмом человека, всюду выявляется золотая пропорция, характеризующая соразмерность и гармоничность их строения. Золотое сечение признано универсальным законом живых систем.

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции - длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38 (Рис.6).

Рис.6 Золотые пропорции в частях тела ящерицы

Золотое сечение в архитектуре

В книгах о “золотом сечении” можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими “золотое сечение”, то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. “Золотое сечение” дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин.

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (Рис.7). Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по “золотому сечению”, то получим те или иные выступы фасада.

Другим примером из архитектуры древности является пирамида Хеопса (Рис.8).

Пропорции Великой Пирамиды выдержаны в " Золотом соотношении»

Древние строители ухитрились возвести этот величественный монумент практически с идеальной инженерной точностью и симметричностью.

Рис.7. Парфенон

Рис.8. Пирамида Хеопса

Золотое сечение в скульптуре

Пропорции «золотого сечения» создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях. Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям (Рис.9).

Рис.9 Статуя Аполлона Бельведерского

Золотое сечение в живописи

Переходя к примерам «золотого сечения» в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Посмотрим внимательно на картину «Джоконда». Композиция портрета построена на золотых треугольниках (Рис.10).

Рис.10 Леонардо да Винчи «Джоконда»

Еще один пример золотого сечения в живописи – это полотно Рафаэля «Избиение младенцев» (Рис.11). На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции. Если естественным образом соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получается...золотая спираль!

Рис.11. Рафаэль «Избиение младенцев»

Золотое сечение в литературных произведениях

Формы временно̀го искусства по-своему демонстрируют нам принцип золотого деления. Действует правило золотого сечения и в отдельно взятых произведениях русского классика. Так, в повести «Пиковая дама» 853 строки, а кульминация приходится на 535 строке (853:535=1,6) - это и есть точка золотого сечения.

Золотое сечение в кинокартинах

Кинорежиссер Сергей Эйзенштейн сценарий своего фильма «Броненосец Потёмкин» сознательно согласовывал с правилом золотого сечения, разделив ленту на пять частей.

Заключение

О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть «золотого сечения». Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий - свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно «золотому сечению». А Аристотель нашел соответствие «золотого сечения» этическому закону. Высшую гармонию «золотого сечения» будут проповедовать Леонардо да Винчи и Микеланджело, ведь красота и «золотое сечение» - это одно и то же. А христианские мистики будут рисовать на стенах своих монастырей пентаграммы «золотого сечения», спасаясь от Дьявола. При этом ученые - от Пачоли до Эйнштейна - будут искать, но так и не найдут его точного значения. Бесконечный ряд после запятой - 1,6180339887... Странная, загадочная, необъяснимая вещь: эта божественная пропорция мистическим образом сопутствует всему живому. Неживая природа не знает, что такое «золотое сечение». Но вы непременно увидите эту пропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле. Все живое и все красивое - все подчиняется божественному закону, имя которому - «золотое сечение». Так что же такое «золотое сечение»? Что это за идеальное, божественное сочетание? Может быть, это закон красоты? Или все-таки он - мистическая тайна? Научный феномен или этический принцип? Ответ неизвестен до сих пор. Точнее - нет, известен. «Золотое сечение» - это и то, и другое, и третье. Только не по отдельности, а одновременно... И в этом его подлинная загадка, его великая тайна.

Литература:

1. Виленкин Н. Я., Жохов В. И. и др. Математика - 6. - М.: Мнемозина, 2015
2. Корбалан Ф. Золотое сечение. Математический язык красоты. (Мир математики Т.1). - М.: ДеАгостини, 2014
3. Тимердинг Г. Е. Золотое сечение. - М.: Либроком, 2009

Ключевые слова: золотое сечение, золотые пропорции, научный феномен .

Аннотация: Золотое сечение – это универсальное проявление структурной гармонии. Оно встречается в природе, науке, искусстве - во всем, с чем может соприкоснуться человек. Авторы статьи исследуют литературу, находят связи между науками, касающиеся Золотого сечения, выявляют практический смысл золотых пропорций.

Вырезав квадрат со стороной а из прямоугольника, построенного по принципу золотого сечения, мы получаем новый, уменьшенный прямоугольник с тем же свойством

Золото́е сече́ние (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление, число Фидия) — деление непрерывной величины на части в таком отношении, при котором большая часть так относится к меньшей, как вся величина к большей. Например, деление отрезка АС на две части таким образом, что большая его часть АВ относится к меньшей ВС так, как весь отрезок АС относится к АВ (т. е. |АВ | / |ВС | = |АС | / |АВ |).

Эту пропорцию принято обозначать греческой буквой ϕ (встречается также обозначение τ). Она равна:

Формула «золотых гармоний», дающая пары чисел удовлетворяющие вышеупомянутой пропорции:

В случае с числом параметр m = 1.

В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении (ἄκρος καὶ μέσος λόγος ) впервые встречается в «Началах» Евклида (ок . 300 до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника.

C ам термин «золотое сечение» (нем. goldener Schnitt ) был введён немецким математиком Мартином Омом в 1835 году.

Математические свойства

Золотое сечение в пятиконечной звезде

— иррациональное алгебраическое число, положительное решение любого из следующих уравнений

представляется цепной дробью

для которой подходящими дробями являются отношения последовательных чисел Фибоначчи . Таким образом, .

В правильной пятиконечной звезде каждый сегмент делится пересекающим его сегментом в золотом сечении (то есть отношение синего отрезка к зелёному, также как красного к синему, также как зелёного к фиолетовому, равны ).

Построение золотого сечения

Вот ещё одно представление:

Геометрическое построение

Золотое сечение отрезка AB можно построить следующим образом: в точке B восстанавливается перпендикуляр к AB , откладывают на нём отрезок BC , равный половине AB , на отрезке AC откладывают отрезок AD , равный AC − CB , и наконец, на отрезке AB откладывают отрезок AE , равный AD . Тогда

Золотое сечение и гармония

Принято считать, что объекты, содержащие в себе «золотое сечение», воспринимаются людьми как наиболее гармоничные. Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона якобы свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их создании. Архитектор Ле Корбюзье «нашёл», что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса , пропорции фигур соответствуют величинам золотого сечения. Зодчий Хесира , изображённый на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого сечения. В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления, и т. д. и т. п.

"Золотое сечение" в искусстве

Золотое сечение и зрительные центры

Начиная с Леонардо да Винчи, многие художники сознательно использовали пропорции «золотого сечения».

Известно, что Сергей Эйзенштейн искусственно построил фильм Броненосец Потёмкин по правилам «золотого сечения». Он разбил ленту на пять частей. В первых трёх действие разворачивается на корабле. В двух последних — в Одессе, где разворачивается восстание. Этот переход в город происходит точно в точке золотого сечения. Да и в каждой части есть свой перелом, происходящий по закону золотого сечения. В кадре, сцене, эпизоде происходит некий скачок в развитии темы: сюжета, настроения. Эйзенштейн считал, что, так как такой переход близок к точке золотого сечения, он воспринимается как наиболее закономерный и естественный.

Другим примером использования правила «Золотого сечения» в киноискусстве — расположение основных компонентов кадра в особых точках — «зрительных центрах». Часто используются четыре точки, расположенные на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краёв плоскости.

Следует заметить что в вышеописанных примерах фигурировало приблизительное значение "золотого сечения": легко убедиться что ни 3/2 ни 5/3 не равно значению золотого сечения.

Российский зодчий Жолтовский также использовал золотое сечение.

Критика золотого сечения

Есть мнения, что значимость золотого сечения в искусстве, архитектуре и в природе преувеличена и основывается на ошибочных расчётах.

При обсуждении оптимальных соотношений сторон прямоугольников (размеры листов бумаги A0и кратные, размеры фотопластинок (6:9, 9:12) или кадров фотоплёнки (часто 2 : 3), размеры кино- и телевизионных экранов — например, 3:4 или 9:16) были испытаны самые разные варианты. Оказалось, что большинство людей не воспринимает золотое сечение как оптимальное и считает его пропорции «слишком вытянутыми».

Число прочтений: 7967

18.04.2011 А. Ф. Афанасьев Обновлено 16.06.12

Размеры и пропорции - одна из главных задач в поисках художественного образа любого произведения пластического искусства. Понятно, что вопрос о размерах решается с учетом помещения, где оно будет находиться, и окружающих его предметов.

Говоря о пропорциях (соотношении размерных величин), мы учитываем их в формате плоского изображения (картина, маркетри), в соотношениях габаритных размеров (длина, высота, ширина) объемного предмета, в соотношении двух различных по высоте или длине предметов одного ансамбля, в соотношении размеров двух явно выделяющихся частей одного и того же предмета и т. д.

В классике изобразительного искусства на протяжении многих веков прослеживается прием построения пропорций, называемый золотым сечением, или золотым числом (этот термин введен Леонардо да Винчи). Принцип золотого сечения, или динамичной симметрии, заключается в том, что «отношение между двумя частями единого целого равно отношению ее большей части к целому» (или соответственно целого к большей части). Математически это

число выражается как - 1 ± 2 ?5 - что дает 1,6180339... или 0,6180339... В искусстве за золотое число принимается 1,62, т. е. приближенное выражение отношения большей величины в пропорции к ее меньшей величине.
От приближенного к более точному это отношение может быть выражено: и т. д., где: 5+3=8, 8+5=13 и т. д. Или: 2,2:3,3:5,5:8,8 и т. д., где 2,2+3,3-5,5 и т. д.

Графически золотое сечение можно выразить соотношением отрезков, получающихся различными построениями. Удобнее, на наш взгляд, построение, показанное на рис. 169: если к диагонали полуквадрата добавить его короткую сторону, то получится величина в отношении золотого числа к его длинной стороне.

Рис. 169. Геометрическое построение прямоугольника в золотом сечении 1,62: 1. Золотое число 1,62 в отношении отрезков (а и Ь)

Рис. 170. Графическое построение функции золотой пропорции 1,12: 1

Пропорция двух величин золотого сечения

создает зрительное ощущение гармонии и равновесия. Есть и другое гармоничное соотношение двух смежных величин, выражаемое числом 1,12. Оно является функцией золотого числа: если взять разность двух величин золотого сечения, разделить ее также в золотой пропорции и каждую долю добавить к меньшей величине исходного золотого сечения, то получится соотношение 1,12 (рис. 170). В таком отношении, например, проводится средний элемент (полочка) в буквах Н, Р, Я и т. д. в некоторых шрифтах, берутся пропорции высоты и ширины для широких букв, также встречается это отношение и в природе.

Золотое число наблюдается в пропорциях гармонично развитого человека (рис. 171): длина головы делит в золотом сечении расстояние от талии до макушки; коленная чашечка также делит расстояние от талии до подошвы ног; кончик среднего пальца вытянутой вниз руки делит в золотой пропорции весь рост человека; отношение фалангов пальцев - тоже золотое число. Это же явление наблюдается и в иных конструкциях природы: в спиралях моллюсков, в венчиках цветков и др.

Рис. 172. Золотые пропорции резного листа герани (пеларгонии). Построение: 1) С помощью масштабного графика (см. рис. 171) строим? ABC,	Рис. 173. Пятилепестковый и трехлепестковый лист винограда. Отношение длины к ширине составляет 1,12. Золотой пропорцией выражается

На рис. 172 и 173 показано построение рисунка листа герани (пеларгонии) и листа винограда в пропорциях золотых чисел 1,62 и 1,12. В листе герани базой построения являются два треугольника: ABC и CEF, где отношение высоты и основания каждого из них выражается числами 0,62 и 1,62, а расстояния между тремя парами наиболее удаленных точек листа равны: AB=CE=SF. Построение указано на чертеже. Конструкция такого листа является типичной для герани, имеющей подобные резные листья.

Обобщенный лист платана (рис. 173) имеет пропорции так же, как и лист винограда, в отношении 1,12, но большую долю у листа винограда составляет его длина, а у листа платана - его ширина. Лист платана имеет три пропорциональных размера в отношении 1,62. Такое соответствие в архитектуре называется триадой (для четырех пропорций - тетрада и далее: пектада, гексода).

На рис. 174 показан способ построения в пропорциях золотого сечения листа клена. При соотношении ширины к длине в 1,12 он имеет несколько пропорций с числом 1,62. За основу построения взяты две трапеции, у которых отношение высоты и длины основания выражается золотым числом. Построение показано на чертеже, также приведены варианты формы листа клена.

В произведениях изобразительного искусства художник или скульптор осознанно или подсознательно, доверяя своему тренированному глазу, часто применяет соотношение размеров в золотой пропорции. Так, работая над копией с головы Христа (по Микеланджело), автор данной книги заметил, что смежные завитки в прядях волос по своим размерам отражают отношение золотого сечения, а по форме - спираль Архимеда, эвольвенту. Читатель сам может убедиться, что в ряде картин художников-классиков центральная фигура расположена от сторон формата на расстояниях, образующих пропорцию золотого сечения (например, размещение головы как по вертикали, так и по горизонтали в портрете М. И. Лопухиной В. Боровиковского; положение по вертикали центра головы в портрете А. С. Пушкина кисти О. Кипренского и др.). То же самое иногда можно видеть и с размещением линии горизонта (Ф. Васильев: «Мокрый луг», И. Левитан: «Март», «Вечерний звон»).

Конечно, указанное правило не всегда есть решение проблемы композиции, и оно не должно подменять в творчестве художника интуицию ритма и пропорций. Известно, например, что некоторые художники применяли для своих композиций отношения «музыкальных чисел»: терции, кварты, квинты (2:3, 3:4 и др.). Искусствоведы не без основания отмечают, что конструкцию любого классического памятника архитектуры или скульптуры при желании можно подогнать под какое угодно отношение чисел. Нашей же задачей в данном случае и особенно задачей начинающего художника или резчика по дереву является научиться строить обдуманную композицию своего произведения не по случайным соотношениям, а по гармоничным пропорциям, проверенным практикой. Эти гармоничные пропорции надо уметь выявить и подчеркнуть конструкцией и формой изделия.

Рассмотрим в качестве примера поиска гармоничной пропорции определение размеров рамки к работе, показанной на рис. 175. Формат помещаемого в нее изображения задан в пропорции золотого сечения. Внешние размеры рамки при одинаковой ширине ее сторон золотой пропорции не дадут. Поэтому отношение длины и ширины ее (ЗЗ0X220) принято несколько меньше золотого числа, т. е. равным 1,5, а ширина поперечных звеньев соответственно увеличена по сравнению с боковыми сторонами. Это позволило выйти на размеры рамки в свету (для картины), дающие пропорции золотого сечения. Отношение же ширины нижнего звена рамки к ширине его верхнего звена подогнано к другому золотому числу, т. е. к 1,12. Также отношение ширины нижнего звена к ширине бокового (94:63) близко к 1,5 (на рисунке - вариант слева).

Теперь сделаем эксперимент: увеличим длинную сторону рамки до 366 мм за счет ширины нижнего звена (она будет 130 мм) (на рисунке - вариант справа), чем приблизим не только отношение но и к золотому
числу 1,62 вместо 1,12. В результате получилась новая композиция, которая может быть применена в каком-либо ином изделии, но для рамки возникает желание сделать ее короче. Закройте нижнюю часть ее линейкой настолько, чтобы глаз «принял» получившуюся пропорцию, и мы получим ее длину 330 мм, т. е. подойдем к исходному варианту.

Так, анализируя различные варианты (могут быть и другие кроме двух разобранных), мастер останавливается на единственно возможном с его точки зрения решении.

Применение принципа золотого сечения в поисках нужной композиции лучше делать, используя несложный прибор, принципиальная схема конструкции которого показана на рис. 176. Две линейки этого прибора могут, вращаясь вокруг шарнира В, образовывать произвольный угол. Если при любом растворе угла разделить точкой К расстояние АС в золотом сечении и смонтировать еще две линейки: КМ\\ВС и КЕ\\АВ с шарнирами в точках К, Е и М, то при любом растворе АС это расстояние будет делиться точкой К в отношении золотого сечения.

Во вселенной еще много неразгаданных тайн, некоторые из которых ученые уже смогли определить и описать. Числа Фибоначчи и золотое сечение составляют основу разгадки окружающего мира, построения его формы и оптимального зрительного восприятия человеком, с помощью которых он может ощущать красоту и гармонию.

Золотое сечение

Принцип определения размеров золотого сечения лежит в основе совершенства целого мира и его частей в своей структуре и функциях, его проявление можно видеть в природе, искусстве и технике. Учение о золотой пропорции было заложено в результате исследований древними учеными природы чисел.

В основе его лежит теория о пропорциях и соотношениях делений отрезков, которое было сделано еще древним философом и математиком Пифагором. Он доказал, что при разделении отрезка на две части: X (меньшую) и Y (большую), отношение большего к меньшему будет равно отношению их суммы (всего отрезка):

В результате получается уравнение: х 2 - х - 1=0, которое решается как х=(1±√5)/2.

Если рассмотреть соотношение 1/х, то оно равно 1,618…

Свидетельства использования древними мыслителями золотой пропорции приведены в книге Эвклида «Начала», написанной еще в 3 в. до н.э., который применял это правило для построения правильных 5-угольников. У пифагорейцев эта фигура считается священной, поскольку является одновременно симметричной и асимметричной. Пентаграмма символизировала жизнь и здоровье.

Числа Фибоначчи

Знаменитая книга Liber abaci математика из Италии Леонардо Пизанского, который в последующем стал известен, как Фибоначчи, увидела свет в 1202 г. В ней ученый впервые приводит закономерность чисел, в ряду которых каждое число является суммой 2-х предыдущих цифр. Последовательность чисел Фибоначчи заключается в следующем:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 и т.д.

Также ученый привел ряд закономерностей:

• Любое число из ряда, разделенное на последующее, будет равно значению, которое стремится к 0,618. Причем первые числа Фибоначчи не дают такого числа, но по мере продвижения от начала последовательности это соотношение будет все более точным.
• Если же поделить число из ряда на предыдущее, то результат устремится к 1,618.
• Одно число, поделенное на следующее через одно, покажет значение, стремящееся к 0,382.

Применение связи и закономерностей золотого сечения, числа Фибоначчи (0,618) можно найти не только в математике, но и в природе, в истории, в архитектуре и строительстве и во многих других науках.

Спираль Архимеда и золотой прямоугольник

Спирали, очень распространенные в природе, были исследованы Архимедом, который даже вывел ее уравнение. Форма спирали основана на законах о золотом сечении. При ее раскручивании получается длина, к которой можно применить пропорции и числа Фибоначчи, увеличение шага происходит равномерно.

Параллель между числами Фибоначчи и золотым сечением можно увидеть и построив «золотой прямоугольник», у которого стороны пропорциональны, как 1,618:1. Он строится, переходя от большего прямоугольника к малым так, что длины сторон будут равны числам из ряда. Построение его можно сделать и в обратном порядке, начиная с квадратика «1». При соединении линиями углов этого прямоугольника в центре их пересечения получается спираль Фибоначчи или логарифмическая.

История применения золотых пропорций

Многие древние памятники архитектуры Египта возведены с использованием золотых пропорций: знаменитые пирамиды Хеопса и др. Архитекторы Древней Греции широко использовалиих их при возведении архитектурных объектов, таких как храмы, амфитеатры, стадионы. Например, были применены такие пропорции при строительстве античного храма Парфенон, (Афины) и других объектов, которые стали шедеврами древнего зодчества, демонстрирующими гармонию, основанную на математической закономерности.

В более поздние века интерес к золотому сечению поутих, и закономерности были забыты, однако опять возобновился в эпоху Ренессанса вместе с книгой францисканского монаха Л. Пачоли ди Борго «Божественная пропорция» (1509 г.). В ней были приведены иллюстрации Леонардо да Винчи, который и закрепил новое название «золотое сечение». Также были научно доказаны 12 свойств золотой пропорции, причем автор рассказывал о том, как проявляется она в природе, в искусстве и называл ее «принципом построения мира и природы».

Витрувианский человек Леонардо

Рисунок, которым Леонардо да Винчи в 1492 г. проиллюстрировал книгу Витрувия, изображает фигуру человека в 2-х позициях с руками, разведенными в стороны. Фигура вписана в круг и квадрат. Этот рисунок принято считать каноническими пропорциями человеческого тела (мужского), описанными Леонардо на основе изучения их в трактатах римского архитектора Витрувия.

Центром тела как равноудаленной точкой от конца рук и ног считается пупок, длина рук приравнивается к росту человека, максимальная ширина плеч = 1/8 роста, расстояние от верха груди до волос = 1/7, от верха груди до верха головы =1/6 и т.д.

С тех пор рисунок используется в виде символа, показывающего внутреннюю симметрию тела человека.

Термин «Золотое сечение» Леонардо использовал для обозначения пропорциональных отношений в фигуре человека. Например, расстояние от пояса до ступней ног соотносится к аналогичному расстоянию от пупка до макушки так же, как рост к первой длине (от пояса вниз). Эти вычисление делается аналогично соотношению отрезков при вычислении золотой пропорции и стремится к 1,618.

Все эти гармоничные пропорции часто используются деятелями искусства для создания красивых и впечатляющих произведений.

Исследования золотого сечения в 16-19 веках

Используя золотое сечение и числа Фибоначчи, исследовательскую работу по вопросу о пропорциях продолжают уже не одно столетие. Параллельно с Леонардо да Винчи немецкий художник Альбрехт Дюрер также занимался разработкой теории правильных пропорций тела человека. Для этого им даже был создан специальный циркуль.

В 16 в. вопросу о связи числа Фибоначчи и золотого сечения были посвящены работы астронома И. Кеплера, который впервые применил эти правила для ботаники.

Новое «открытие» ожидало золотое сечение в 19 в. с опубликованием «Эстетического исследования» немецкого ученого профессора Цейзига. Он возвел эти пропорции в абсолют и объявил о том, что они универсальны для всех природных явлений. Им были проведены исследования огромного количества людей, вернее их телесных пропорций (около 2 тыс.), по итогам которых сделаны выводы о статистических подтвержденных закономерностях в соотношениях различных частей тела: длины плеч, предплечий, кистей, пальцев и т.д.

Были исследованы также предметы искусства (вазы, архитектурные сооружения), музыкальные тона, размеры при написании стихотворений — все это Цейзиг отобразил через длины отрезков и цифры, он же ввел термин «математическая эстетика». После получения результатов выяснилось, что получается ряд Фибоначчи.

Число Фибоначчи и золотое сечение в природе

В растительном и животном мире существует тенденция к формообразованию в виде симметрии, которая наблюдается в направлении роста и движения. Деление на симметричные части, в которых соблюдаются золотые пропорции, — такая закономерность присуща многим растениям и животным.

Природа вокруг нас может быть описана с помощью чисел Фибоначчи, например:

• расположение листьев или веток любых растений, а также расстояния соотносятся с рядом приведенных чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 и далее;
• семена подсолнуха (чешуя на шишках, ячейки ананаса), располагаясь двумя рядами по закрученным спиралям в разные стороны;
• соотношение длины хвоста и всего тела ящерицы;
• форма яйца, если провести линию условно через широкую его часть;
• соотношение размеров пальцев на руке человека.

И, конечно, самые интересные формы представляют закручивающиеся по спирали раковины улиток, узоры на паутине, движение ветра внутри урагана, двойная спираль в ДНК и структура галактик — все они включают в себя последовательность чисел Фибоначчи.

Использование золотого сечения в искусстве

Исследователи, занимающиеся поиском в искусстве примеров использования золотого сечения, подробно исследуют различные архитектурные объекты и произведения живописи. Известны знаменитые скульптурные работы, создатели которых придерживались золотых пропорций, — статуи Зевса Олимпийского, Аполлона Бельведерского и

Одно из творений Леонардо да Винчи — «Портрет Моны Лизы» — уже многие годы является предметом исследований ученых. Ими было обнаружено, что композиция работы целиком состоит из «золотых треугольников», объединенных вместе в правильный пятиугольник-звезду. Все работы да Винчи являются свидетельством того, насколько глубоки были его познания в строении и пропорциях тела человека, благодаря чему он и смог уловить невероятно загадочную улыбку Джоконды.

Золотое сечение в архитектуре

В качестве примера ученые исследовали шедевры архитектуры, созданные по правилам «золотого сечения»: египетские пирамиды, Пантеон, Парфенон, Собор Нотр-Дам де Пари, храм Василия Блаженного и др.

Парфенон — одно из красивейших зданий в Древней Греции (5 в. до н.э.) — имеет 8 колонн и 17 по разным сторонам, отношение его высоты к длине сторон равно 0,618. Выступы на его фасадах сделаны по «золотому сечению» (фото ниже).

Одним из ученых, который придумал и успешно применял усовершенствование модульной системы пропорций для архитектурных объектов (так называемый «модулор»), — был французский архитектор Ле Корбюзье. В основу модулора положена измерительная система, связанная с условным делением на части человеческого тела.

Русский архитектор М. Казаков, построивший несколько жилых домов в Москве, а также здания сената в Кремле и Голицынской больницы (сейчас 1-я Клиническая им. Н. И. Пирогова), — был одним из архитекторов, которые использовали при проектировании и строительстве законы о золотом сечении.

Применение пропорций в дизайне

В дизайне одежды все модельеры делают новые образы и модели с учетом пропорций человеческого тела и правил золотого сечения, хотя от природы не все люди имеют идеальные пропорции.

При планировании ландшафтного дизайна и создании объемных парковых композиций с помощью растений (деревьев и кустарников), фонтанов и малых архитектурных объектов также могут применяться закономерности «божественных пропорций». Ведь композиция парка должна быть ориентирована на создание впечатления на посетителя, который свободно сможет ориентироваться в нем и находить композиционный центр.

Все элементы парка находятся в таких соотношениях, чтобы с помощью геометрического строения, взаиморасположения, освещения и света, произвести на человека впечатление гармонии и совершенства.

Применение золотого сечения в кибернетике и технике

Закономерности золотого сечения и чисел Фибоначчи проявляются также в переходах энергии, в процессах, происходящих с элементарными частицами, составляющих химические соединения, в космических системах, в генной структуре ДНК.

Аналогичные процессы происходят и в организме человека, проявляясь в биоритмах его жизни, в действии органов, например, головного мозга или зрения.

Алгоритмы и закономерности золотых пропорций широко используются в современной кибернетике и информатике. Одна из несложных задач, которую дают решать начинающим программистам, — написать формулу и определить, сумму чисел Фибоначчи до определенного числа, используя языки программирования.

Современные исследования теории о золотой пропорции

Начиная с середины 20 века, интерес к проблемам и влиянию закономерностей золотых пропорций на жизнь человека, резко возрастает, причем со стороны многих ученых различных профессий: математиков, исследователей этноса, биологов, философов, медицинских работников, экономистов, музыкантов и др.

В США с 1970-хгодов начинает выпускаться журнал The Fibonacci Quarterly, где публикуются работы на эту тему. В прессе появляются работы, в которых обобщенные правила золотого сечения и ряда Фибоначчи используют в различных отраслях знаний. Например, для кодирования информации, химических исследований, биологических и т.д.

Все это подтверждает выводы древних и современных ученых о том, что золотая пропорция многосторонне связана с фундаментальными вопросами науки и проявляется в симметрии многих творений и явлений окружающего нас мира.

1. Понятие гармонии Вот как пишет о гармонии Алексей Петрович Стахов , доктор технических наук (1972 г.), профессор (1974 г.), академик Академии инженерных наук Украины ( www . goldenmuseum . com ). "С давних пор человек стремится окружать себя красивыми вещами. Уже предметы обихода жителей древности, которые, казалось бы, преследовали чисто утилитарную цель - служить хранилищем воды, оружием на охоте и т.д., демонстрируют стремление человека к красоте. На определенном этапе своего развития человек начал задаваться вопросом: почему тот или иной предмет является красивым и что является основой прекрасного? Уже в Древней Греции изучение сущности красоты, прекрасного , сформировалось в самостоятельную ветвь науки - эстетику, которая у античных философов была неотделима от космологии. Тогда же родилось представление о том, что основой прекрасного является гармония. Красота и гармония стали важнейшими категориями познания, в определенной степени даже его целью, ибо в конечном итоге художник ищет истину в красоте, а ученый - красоту в истине. Красота скульптуры, красота храма, красота картины, симфонии, поэмы... Что между ними общего? Разве можно сравнивать красоту храма с красотой ноктюрна? Оказывается можно, если будут найдены единые критерии прекрасного, если будут открыты общие формулы красоты, объединяющие понятие прекрасного самых различных объектов - от цветка ромашки до красоты обнаженного человеческого тела?.....". Известный итальянский теоретик архитектуры Леон-Баттиста Альберти, написавший много книг о зодчестве, говорил о гармонии следующее:

"Есть нечто большее, слагающееся из сочетания и связи трех вещей (числа, ограничения и размещения), нечто, чем чудесно озаряется весь лик красоты. Это мы называем гармонией, которая, без сомнения, источник всякой прелести и красоты. Ведь назначение и цель гармонии - упорядочить части, вообще говоря, различные по природе, неким совершенным соотношением так, чтобы они одна другой соответствовали, создавая красоту... Она охватывает всю жизнь человеческую, пронизывает всю природу вещей. Ибо все, что производит природа, все это соизмеряется законом гармонии. И нет у природы большей заботы, чем та, чтобы произведенное ею было совершенным. Этого никак не достичь без гармонии, ибо без нее распадается высшее согласие частей".

В Большой Советской Энциклопедии дается следующее определение понятия "гармония":

"Гармония - соразмерность частей и целого, слияние различных компонентов объекта в единое органическое целое. В гармонии получают внешнее выявление внутренняя упорядоченность и мера бытия".

"Формул красоты" уже известно немало. Уже давно в своих творениях люди предпочитают правильные геометрические формы - квадрат, круг, равнобедренный треугольник, пирамиду и т.д. В пропорциях сооружений отдаются предпочтение целочисленным соотношениям. Из многих пропорций, которыми издавна пользовался человек при создании гармонических произведений, существует одна, единственная и неповторимая, обладающая уникальными свойствами. Эту пропорцию называли по разному - "золотой", "божественной", "золотым сечением", "золотым числом", "золотой серединой".

рис. 1 "Золотая пропорция" - это понятие математическое и ее изучение - это прежде всего задача науки. Но она же является критерием гармонии и красоты, а это уже категория искусства и эстетики. И наш Музей, который посвящен изучению этого уникального феномена, является, несомненно, научным музеем, посвященным изучению гармонии и красоты с математической точки зрения". На сайте А. П. Стахова ( www . goldenmuseum . com ) приводится много интересной и поучительной информации о замечательных свойствах золотого сечения. И это не удивительно. С понятием «золотое сечение» связывают гармонию Природы. При этом с гармонией, как правило, связывают принципы симметрии в живой и неживой Природе. Поэтому всеобщностью проявления принципа золотого сечения сегодня уже никого не удивишь. И каждое новое открытие в сфере выявления еще одной золотой пропорции уже никого не поражает, разве что самого автора такого открытия. Всеобщность этого принципа ни у кого не вызывает сомнения. В различных справочниках приводятся сотни формул, связывающих ряд Фибоначчи с золотым сечением, в том числе и ряд формул, отражающих взаимодействия в мире элементарных частиц . Среди этих формул хочется отметить одну- бином Ньютона для золотой пропорции где - число перестановок. А бином Ньютона, как известно, отражает степенную функцию двойственного отношения. Данная формула привязывает бином золотого отношения к Единице. Без этого принципа, по сути дела, нельзя рассмотреть ни одной фундаментальной проблемы. В милогии эта пропорция обоснована как принцип самодостаточности. И все же несмотря на всеобщность золотая пропорция на практике используется далеко не всегда, и не везде. 2 . МОНАДА И ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ Принципы симметрии лежат в основе теории относительности, квантовой механики, физики твердого тела, атомной и ядерной физики, физики элементарных частиц. Выше было показано, что симметрия - это одна из форм проявления двойственности. Поэтому нет ничего удивительного в том, что эти принципы наиболее ярко выражаются в свойствах инвариантности законов природы.В показано, что симметрия и асимметрия не просто взаимосвязаны друг с другом, а они являются разными формами проявления закономерности двойственности. Закономерность двойственности является одним из основных механизмов эволюции живой и неживой материи. Действительно, способность к размножению у живых организмов можно естественно объяснить только тем, что в процессе своего развития организм полностью достраивает свою оболочку и попытка дальнейшего усложнения структуры приводит, в силу закономерности об ограниченности и замкнутости, к трансформации из организма с внутренней двойственностью в организм с внешней двойственностью, т. е. удвоению, которое осуществляется путем деления оригинала. Затем процесс повторяется. Закономерность двойственности является ответственной за создание дублирующих органов в живом организме. Это дублирование не является следствием эволюции живых организмов. В основе золотого сечения лежитпростая пропорция, которая хорошо видна на рисунке золотой спирали: Правила золотого сечения были известны еще в Вавилонии и древнем Египте. Пропорции пирамиды Хеопса, предметов из гробницы Тутанхамона, других произведений древнего искусства красноречиво об этом свидетельствуют, а сам термин “золотое сечение” принадлежит Леонардо да Винчи. С тех пор многие шедевры искусства, архитектуры и музыки выполняются при неукоснительном соблюдении золотой пропорции, несомненно отражающей строение наших сенсорных оболочек – глаз и ушей, головного мозга – анализатора геометрических, цветовых, световых, звуковых и других образов. Золотое сечение обладает еще одной тайной. Оно скрывает в себе свойство самонормирования . Академик Толкачев В.К. в своей книге "Роскошь системного мышления" так пишет об этом важном свойстве золотого сечения: «Когда-то Клавдий Птолемей разделил равномерно рост человека на 21 отрезок и выделил две основные части: большую (мажор), состоящую из 13-и отрезков, и меньшую (минор) - из 8-и. При этом оказалось, что отношение длины всей фигуры человека к длине ее большей части равно отношению большей части к меньшей.... Проиллюстрировать золотое отношение можно следующим образом. Если единичный отрезок разделить на две неравные части (мажор и минор) так, что длина всего отрезка (т.е. мажор + минор = 1) относится к мажору точно так же, как мажор относится к минору: (мажор + минор) / мажор = мажор / минор = Ф, то такая задача имеет решение в виде корней уравнения х 2 - х - 1 =0, численное значение которых: х 1 = - 0,618033989..., х 2 = 1,618033989..., Первый корень обозначается буквой " Ф ", а второй " - Ф ", но мы будем пользоваться иными обозначениями: Ф =1,618033989..., а Ф -1 = 0,618033989... Это - единственное число, которое обладает свойством быть ровно на единицу больше своего обратного отношения". Отметим, что другое уравнение х 2 - y - 1 = xy превращается в тождество при следующих значениях х 1 = + 0,618033989..., y 1 =- 1,618033989..., x 2 = -1,618033989..., y 2 = 0,618033989..., Может быть в совокупности эти корни и порождают животворящий крест - крест золотого сечения? Уравнение золотого сечения Ф 2 -Ф=1 где Ф 1 = -Ф -1 = - 0,618033989..., и Ф 2 = Ф 1 =1,618033989..., удовлетворяют свойству самонормирования , позволяющее строить более сложные "конструкции" по " образу и подобию ". Подставляя корни в уравнение х ( х-1)=1, мы получим Ф 1 (Ф 1 -1)= 1,618..*1,618..-1,618..=2,618..-1,618..=1 Ф -2 -(-Ф -1)=0,382...+0,6181=1. Таким образом, данное уравнение отражает не только принцип самонормирования , вытекающего из Единого закона эволюции двойственного отношения (монады), но и связь золотого сечения с биномом Ньютона (с монадой). Нетрудно показать, что будут справедливы следующие тождества Ф -2 =0,382...; Ф -1 =0,618...; Ф 1 =1,618...; Ф 2 =2,618...; Откуда непосредственно можно увидеть, что корни уравнения Ф 2 -Ф=1 обладают еще и другим и замечательными свойствами Ф 1 Ф -1 =Ф 0 =1 и Ф -1 (Ф 1 -1)= 1-Ф -1 ; Ф 1 (Ф -1 -1)=1-Ф 1 =1; Оно характеризует инвариантность одной математической монады в другую, путем умножения её на обратную величину, т.е. можно сказать, что корни уравнения золотого сечения сами формируют золотую, самонормированную монаду <Ф -1 ,Ф 1 > . Поэтому данное уравнение по праву можно назвать уравнением золотого сечения. Дополнительные свойства этого уравнения может узнать каждый, используя бином Ньютона и производящие функции (Преемственность ). Нетрудно понять, что процесс все более сложных "золотых монад" будет осуществляться "по образу и подобию" , т.е. этот процесс будет периодически повторяющимся, а все результаты оказываются как бы замкнутыми в рамки золотого сечения. Но, пожалуй, самые замечательные свойства золотого сечения связаны, в первую очередь, с уравнением золотого сечения, приведенным выше. Это уравнение является двойственным х 2 + х - 1 =0. Корни этого уравнения численно равны: х 1 = + 0,618033989..., х 2 = -1,618033989..., Это значит, что уравнения золотого сечения формируют крест золотого сечения с перекладинами

рис. 2

Вот он, поистине золотой крест, лежащий в основе мироздания! На правом рисунке непосредственно видно, что значения выражения в полюсах вертикальной перекладины равны 1. Из креста на левом рисунке видно также, что при каждом переходе с одной перекладины на вторую осуществляются самонормировки . Самонормировка происходит как при сложении, так и при умножении. Разница получается только в знаке. И это не случайно . При движении по перекладинам мы получаем еще четыре значения · при сложении : 0 и 0 , · при умножении : -0,382 .., и -2,618 . Нетрудно показать, что будут справедливы следующие тождества Ф -2 =0,382...; Ф -1 =0,618...; Ф 1 =1,618...; Ф 2 =2,618...; Используя ряд этих значений, и совершая обход по кресту мы получим еще один золотосеченный крест. Нетрудно показать, как из этих крестов, сформировать двойной крест, порождающий закон Куба.

рис. 3

Ниже мы покажем, что шесть полученных значений полностью вписываются в рамки сложного отношения - уникальной закономерности, известной из проективной геометрии. А сейчас мы приведем еще один рисунок, который непосредственно говорит о связи золотого сечения и Куба Закона. рис. 4 Сравните этот рисунок, нарисованный еще Леонардо да Винчи, с предыдущим. Увидели? Поэтому гимн золотому сечению можно продолжать до бесконечности. Так итальянский математик Лука Пачолли в своем труде "Божественная пропорция" приводит 13 свойств золотого сечения, снабжая каждое из них эпитетами - исключительное, несказанное, замечательнейшее, сверхъестественное, и т.д. Трудно сказать, связаны ли эти свойства с числом 13 или нет. Но вот хроматическая гамма связана и с числом 13, и с числом 8. Так, пропорцию 13/8 можно представить как 8/8+5/8. С этими пропорциями связываются и многие духовные знания (Путь к себе ). 3. РЯДЫ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ Из вышеприведенных свойств золотого сечения следует вывод, что ряд ...; Ф -2 =0,382...; Ф -1 =0,618...; Ф 0 ; Ф 1 =1,618...; Ф 2 =2,618...; ...; может быть продолжен как вправо, так и влево. Более того, умножение это ряда на Ф + n или Ф - n порождает новый ряд, сдвинутый соответственно вправо или влево от исходного. Коэффициенты Ф + n или Ф - n можно считать коэффициентами подобия золотосеченных рядов. Золотосеченные ряды могут формировать натуральный ряд целых чисел.
Посмотрите, эти числа имеют удивительные свойства. Они формируют не только Великие Пределы двойственных"з олотых монад". Они формируют Великие Пределы триад (числа 5, 8,..). Они формируют и крест (число 9). Но существуют и другие, более фундаментальные золотосеченные ряды. В первую очередь следует привести формулу "золотого" бинома Ньютона. Бином Ньютона уже изначально свидетельствует о существовании монады (двойственного отношения) и его свойства лежат в основе биномиальных рядов (арифметический треугольник и др.). Теперь можно сказать и о том, что все биномиальные ряды могут быть выражены через золотую пропорцию. Золотая монада бинома Ньютона отражает еще одно важнейшее свойство мироздания. Она является нормированной (единичной). 4. О СВЯЗИ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ С РЯДОМ ФИБОНАЧЧИ Природа как бы решает задачу сразу с двух сторон и складывает полученные результаты. Как только получает в сумме 1, то осуществляет переход в следующее измерение, где начинает строить все сначала. Но тогда она и должна строить это золотое сечение по определенному правилу. Природа не пользуется золотым сечением сразу. Она его получает путем последовательных итераций. Она для порождения золотогосечения пользуется другим рядом, - рядом Фибоначчи.

Рис.5

Рис. 6.Спираль золотого сечения и спираль Фибоначчи

Замечательным свойством этого ряда является то, что по мере увеличения чисел ряда отношение двух соседних членов этого ряда асимптотически приближается к точной пропорции Золотого сечения (1:1,618) основе красоты и гармонии в окружающей нас природе, в том числе и в человеческих отношениях . Отметим, что сам Фибоначчи открыл свой знаменитый ряд, размышляя над задачей о количестве кроликов, которые в течении одного года должны родиться от одной пары. У него получилось, что в каждом последующем месяце после второго число пар кроликов в точности следует цифровому ряду, которое ныне носит его имя. Поэтому не случайно, что и сам человек устроен по ряду Фибоначчи. Каждый орган устроен в соответствии с внутренней, или внешней двойственностью. Следует сказать, что спираль Фибоначчи может быть двойной. Существуют многочисленные примеры этих двойных спиралей, встречающихся повсюду. Так спирали подсолнухов всегда соотносятсяс рядом Фибоначчи. Даже в обычной сосновой шишке можно увидеть эту двойную спираль Фибоначчи. Первая спираль идет в одну сторону, вторая - в другую. Если посчитатьчисло чешуек в спирали, вращающейся в одном направлении, и число чешуек в другой спирали, можно увидеть, что это всегдадва последовательных числа ряда Фибоначчи. Может быть восемь в одном направлении и 13 в другом, или 13 в одном и 21 в другом . В чем разница между спиралями золотого сечения и спиралью Фибоначчи?Спираль золотого сечения идеальна. Она соответствуетПервоисточнику гармонии. Эта спираль не имеет ни начала, ни конца. Она бесконечна. Спираль Фибоначчи имеет начало, от которого она начинает “раскрутку”. Это очень важное свойство. Оно позволяет Природе после очередного замкнутого цикла осуществлять строительство новой спирали с“нуля”. Эти факты еще раз подтверждают, что закон о двойственности дает не только качественные, но и количественные результаты. Они заставляют задуматься о том, что окружающий нас Макромир и Микромир эволюцирует по одним и тем же законам- законам иерархии, и что эти законы едины для живой и для неживой материи. Закон двойственности является виновником того, что Иерархия, имея в своем багаже только один этот алгоритм формирования инвариантных оболочек, позволяет строить производящие функции этих оболочек, строить Единый Периодический ЗаконЭволюции Материи . Пусть мы имеемследующую производящую функцию При n=1 мы будем иметь производящуюфункцию вида и т.д.Теперь попробуем определять очередной член производящей функции по рекуррентной зависимости, полагая, чтоэтот член функции будет получаться путем суммирования ее двух последних членов. Например,при n=1, значение третьего члена ряда будет равно 2. В итоге мы получимряд (1-1х+2х2). Тогда,умножаяпроизводящую функцию на оператор (1-х) и используя рекуррентную зависимость для вычисления очередного члена ряда, мы и получимискомую производящую функцию. Обозначая через значение n-го члена ряда, а через предыдущее значение этого ряда и полагая n=1,2,3,….процесс последовательного формирования членов ряда можноизобразить следующимобразом (табл. 1).

Таблица 1.

Из таблицы видно, что после получения очередного результирующего члена ряда, этот член подставляется в исходный многочлен и производится сложение с предыдущим, затем новый результирующий член подставляется в исходный ряд и т. д. В результате мыполучаемряд Фибоначчи. Из таблицы непосредственно видно, что ряд Фибоначчи обладает свойством инвариантности относительно оператора (1-х) -онформируется какряд, получаемый в результате умножения ряда Фибоначчи на оператор (1-х), т.е.производящая функция ряда Фибоначчи при умножении на оператор (1-х) порождает саму себя. И это замечательное свойство также является следствием проявления закономерности о двойственности. Действительно в , , было показано, что многократное применение оператора вида(1+х) оставляет структурумногочлена неизменной, а ряд Фибоначчи обладает дополнительным,ещеболее замечательными свойствами: каждый член этого ряда является суммой двух его последних членов.Поэтому Природе не надо помнить сам ряд Фибоначчи. Надо только помнить последние два члена ряда и оператор видаP*(x )=(1-x), ответственного за данный алгоритмудвоения, чтобы получать без ошибки ряд Фибоначчи. Но почемув Природеименно этот ряд играет решающую роль?На этот вопрос может дать исчерпывающий ответ концепция тройственности, определяющая условия ее самосохранения. При нарушении «баланса интересов»триады одним из ее «партнеров», «мнения» двух других «партнеров» должны быть скорректированы. Особенно наглядно концепция тройственности проявляется в физике, где из кварков построили «почти» все элементарные частицы.Если вспомнить, что отношения дробных зарядов кварковых частиц составляют ряд , а это и есть первые члены ряда Фибоначчи, которые необходимы дляформирования других элементарных частиц. Возможно, что спираль Фибоначчи может играть решающую роль и в формировании закономерности ограниченности и замкнутости иерархических пространств. Действительно, представим, что на каком-то этапе эволюции спираль Фибоначчи достигла совершенства (она стала неотличима отспирали золотого сечения) и по этой причине частица должнатрансформироваться в следующую «категорию». Чудесные свойства ряда Фибоначчи проявляются и в самих числах, являющихся членами этого ряда.Расположим члены ряда Фибоначчи по вертикали., а затемвправо, в порядке убывания, запишем натуральные числа

1 2 32 543 8765 13 12 11 1 1 098 21 20 19 18 17 16 1514 13 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 ....

Каждая строчка начинается и завершается числом Фибоначчи, т. е. в каждой строчке всего два таких числа. Подчеркнутые числа - 4, 7, 6, 11, 10, 18, 16, 29, 26, 47, 42обладают особыми свойствами (второй уровень иерархии ряда Фибоначчи):

(5-4)/(4-3)= 1/1 (8-7)/(7-5) = 1/2 и(8-6)/(6-5)= 2/1 (13-11)/(11-8) = 2/3 и (13-10)/(10-8) = 3/2 (21-18)/(18-13) = 3/5 и (21-16)/(1б-13) = 5/3 (34-29)/(29-21) = 5/8 и (34-26)/(26-21) = 8/5 (55-47)/(47-34) = 8/13 и (55-42)/(42-34) = 13/8

Мы получили дробный ряд Фибоначчи, который, возможно,«исповедуют» коллективные спиныэлементарных частиц и атомов химических элементов. Следующий уровень иерархии образуется в результате дробления интервалов между числами Фибоначчи и выделенными числами. Например, на третью ступень иерархии встанут числа 52 и 50 из интервала 55-47. Процесс стр уктурирования ряда натуральных чисел может быть продолжен, т.к.свойствапериодичности и многоуровневости строения материи отражается даже в свойствах самого ряда Фибоначчи. Но у ряда Фибоначчи имеется еще одна тайна, вскрывающая сущность периодичности изменения свойств дв ойственного отношения (монады). Выше был определен диапазон изменения свойств дв ойственного отношения, характеризующего его норму самодостаточности U=<2/3, 1) Построим для данного диапазона ряд Фибоначчи L==<(-1/3), 0+(-1/3), (-1/3)+(-1/3), (-1/3)+(-2/3) >= <-1/3, -1/3, -2/3, -3/3>

Мы получим L -тетраэдр, характеризующий возрастающую спираль эволюции двойственного отношения. Продолжим этот процесс. Попытка выйти за пределы данного диапазона нормы самодостаточности приведет к его нормированию, т.е. первым элементом в D -тетраэдре будет характеризоваться нормой самодостаточности, равной 1,0 . Но, продолжая далее этот процесс, мы будем вынуждены постоянно производить перенормировку. Следовательно, эволюция не может продолжаться? Но, в самом вопросе имеется и ответ. После перенормировки эволюция должна начаться сначала, но в противоположную сторону, т.е. при формировании "параллельного" D-тетраэдра должен измениться знак числа и ряд Фибоначчи начинает обратное движение.

D==<(1/3), 0+(1/3), (1/3)+(1/3), (1/3)+(2/3) >= <1/3, 1/3, 2/3, 3/3>

Тогда общий ряд , характеризующий норму самодостаточности "звездного тетраэдра" будет характеризоваться соотношениями

U==const

Устойчивое состояние звездного тетраэдра будет зависеть от соответствующего сопряжения L- и D- тетраэдров. При U=1 будем иметь куб. При U=2/3 мы получим самодостаточный звездный тетраэдр, с самодостаточными L- и D- тетраэдрами. При меньших значениях устойчивое состояние звездного тетраэдра будет достигаться только совместными усилиями L- и D- тетраэдрами. Очевидно, что в этом случае минимальное значение нормы самодостаточности звездного тетраэдра будет равно U=1/3, т.е. два н е самодостаточных тетраэдра совместными усилиями образуют самодостаточный звездный тетраэдр U. В самом общем случае устойчивые состояния звездного тетраэдра U можно проиллюстрировать, например, следующей схемой.

Рис. 7

На последнем рисунке приведена фигура, напоминающая мальтийский крест, с восемью вершинами. т .е. эта фигура снова навевает ассоциации со звездным тетраэдром.

О чудесных свойствах ряда Фибоначчи, о его периодичности свидетельствует следующая информация ( Михайлов Владимир Дмитриевич,« Живая информационная Вселенная», 2000 г., Россия, 656008, г. Барнаул, ул. Партизанская дом. 242).

с.10. "Законы «золотой пропорции», «золотого сечения» связаны с цифровым рядом Фибоначчи, открытого в 1202 году, является направлением в теории кодирования информации. За многовековую историю познания чисел Фибоначчи, образуемый его членами отношения (числа) и их различные инварианты скрупулезно изучены и обобщены, но так полностью и не расшифрованы. Математическая последовательность ряда чисел Фибоначчи представляет из себя последовательность чисел, где каждый последующий член ряда, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233… до бесконечности. …Цифровой код цивилизации можно определить с помощью различных методов в нумерологии. Например, с помощью приведения сложных чисел к однозначным (к примеру: 13 есть (1+3)=4, 21 есть (2+3)=5 и т.д.) Проводя подобную процедуру сложения со всеми сложными числами ряда Фибоначчи, получим следующий ряд из 24 цифр: 1 ,1 ,2 ,3 ,5 ,8 ,4 ,3 ,7 ,1 ,8 ,9 ,8 ,8 ,7 ,6 ,4 ,1 ,5 ,6 ,2 ,8 ,1 ,9 далее сколько не преобразовывай числа в цифры, через 24-ре цифры цикл будет последовательно повторяться бесконечное количество раз… …не является ли набор из 24 цифр своеобразным цифровым кодом развития цивилизации? С.17 Если Пифагорийскую Четверку в последовательности 24-х цифр Фибоначчи разделить между собой (как бы переломить) и наложить друг на друга, то возникает картина взаимоотношений 12-ти дуальностей противоположных цифр, где каждая пара цифр в сумме дает 9-ку (дуальность , рождающая троичность)....

1 1 8 =9 2 1 8 =9 3 2 7 =9 4 3 6 =9 5 5 4 =9 6 8 1 =9 7 4 5 =9 8 3 6 =9 9 7 2 =9 10 1 8 =9 11 8 1 =9 12 9 9 = 18=1+8=9 (моя редакция)

1 1 1 1 75025

2 1 1 1 75025 3 2 2 2 150050 4 3 3 3 225075 5 5 5 5 375125 6 8 8 8 600200 7 4 1+3 13 4 975325 8 3 2+1 21 3 1575525 9 7 3+4 34 7 2550850 10 1 5+5=10=1 55 1 4126375 11 8 8+9=17=1+7 89 8 6677225

12 9 1+4+4 144 9 10803600

13 8 2+3+3 233 8 17480825 14 8 3+7+7=17=1+7=8 377 8 28284425 15 7 6+1+0=7 610 7 45765250 16 6 9+8+7=24=2+4=6 987 6 74049675 17 4 1+5+9+7=22=2+2=4 1597 4 119814925 18 1 2+5+8+4=19+1+9=10=1 2584 1 193864600 19 5 4+1+8+1=14=1+4=5 4181 5 313679525 20 6 6+7+6+5=24=2+4=6 6765 6 507544125 21 2 1+0+9+4+6=20=2 10946 2 821223650 22 8 1+7+7+1+1=17=1+7=8 17711 8 1328767775 23 1 2+8+6+5+7=28=2+8=10=1 28657 1 2149991425

24 9 4+6+3+6+8=27+2+7=9 46368 9 3478759200"

Данная информация свидетельствует о том, что все "дороги ведут в Рим", т.е. множество периодически повторяющихся случайностей, совпадений. м истификаций и т.д., сливаясь в единый поток, с неизбежностью приводят к выводу о существовании периодической закономерности, отражаемой в ряде Фибоначчи. А теперь рассмотрим еще одно, быть может, самое замечательное свойства ряда Фибоначчи. На странице "Монадные формы " мы отмечали, что существует всего пять уникальных форм, имеющих первостепенное значение. Они называются Платановыми телами. Любое Платоново тело имеет некоторые особые характеристики. Во-первых , все грани такого тела равны по размеру. Во-вторых , ребра Платонова тела - одной длины. В-третьих , внутренние углы между его смежными гранями равны. И, в-четвертых, будучи вписанным в сферу, Платоново тело каждой своей вершиной касается поверхности этой сферы. Рис. 8 Есть только четыре формы помимо куба (D), имеющие все эти характеристики. Второе тело (В) - это тетраэдр (тетра означает «четыре»), имеющий четыре грани в виде равносторонних треугольников и четыре вершины. Еще одно тело (C) - это октаэдр (окта означает «восемь»), восемь граней которого - это равносторонние треугольники одинакового размера. Октаэдр содержит 6 вершин. Куб имеет 6 граней и восемь вершин. Два других Платоновых тела несколько сложнее. Одно (E) называется икосаэдр, что означает «имеющий 20 граней», представленных равносторонними треугольниками. Икосаэдр имеет 12 вершин. Другое (F) называется додекаэдр (додека - это «двенадцать»). Его гранями являются 12 правильных пятиугольников. Додекаэдр имеет двадцать вершин. Эти тела обладают замечательными свойствами быть вписанными все всего в две фигуры - сферу и куб. Подобная взаимосвязь с Платоновыми телами прослеживается во всех сферах. Так, например, системe орбит планет солнечной системы можно представить в виде вложенных друг в друга Платоновых тел, вписанных в соответствующие сферы, которые и определяют радиусы орбит соответствующих планет солнечной системы. Фаза А (рис. 8) характеризует начало эволюции монадной формы. А потому эта форма является как бы самой простой (сферой). Затем рождается тетраэдр, и т.д. Куб, расположен в этой гексаде напротив сферы и потому он обладает сходными свойствами. Тогда свойствами, сходными с тетраэдром должны обладать монадная форма, расположенная в гексаде напротив тетраэдра. Это икосаэдр. Формы додекаэдра должны быть «родственны» октаэдру. И, наконец, последняя форма снова становится сферой. Последняя становится первой! Кроме того, в гексаде должна наблюдаться преемственность эволюции двух соседних Платоновых тел. И, действительно, октаэдр и куб, икосаэдр и додекаэдр взаимны. Если у одного из этих многогранников соединить отрезками прямых центры граней, имеющих общее ребро, то получится другой многогранник. В этих свойствах кроется их эволюционное происхождение друг от друга. В Платоновой гексаде можно выделить две триады: «сфера-октаэдр-икосаэдр» и «тетраэдр-куб-додекаэдр», наделяющие соседние вершины собственных триад свойствами взаимности. Эти фигуры обладают еще одним замечательным качеством. Они связаны крепкими узами с рядом Фибоначчи -<1:1:2:3:5:8:13:21:...>, в котором каждый последующий член равен сумме двух предыдущих. Вычислим разности между членами ряда Фиббоначи и числом вершин в Платоновых телах :

· 2=2-А=2-2=0 (нулевой "заряд"), · 3=3-В=3-4=-1 (отрицательный "заряд"), · 4=5-С=5-6=-1 (отрицательный "заряд"), · 5=8-D=8-8=0 (нулевой "заряд"), · 6=13-Е=13-12=1 (положительный "заряд"), · 7=21-F=21-20=1 (положительный "заряд"), Рис. 9

На первый взгляд может показаться, что "монадные заряды" Платоновых тел отражают как бы несоответствие идеальных форм от ряда Фибоначи . Однако, полагая, что начиная с куба, Платоновы тела могут формировать ВЕЛИКИЕ ПРЕДЕЛЫ (Великий Предел), то становится ясным, что додекаэдр и икосаэдр, отражая взаимодополнительное соответствие между число граней и числом вершин, характеризуемых числами 12 и 20, фактически выражают собой соотношения 13 и 21 ряда Фибоначчи. Посмотрите, как происходит нормирование ряда Фибоначчи. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... 12, 20, ..... 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 Первая строка отражает "нормальный" алгоритм формирования ряда Фибоначчи. Вторая строка начинается с икосаэдра, в котором 13 вершина оказалась центром структуры, отражая свойства ВЕЛИКОГО ПРЕДЕЛА. Аналогичный ВЕЛИКИЙ ПРЕДЕЛ имеется и у додекаэдра. Эти два кристалла порождают новое измерение - нормированную монаду "икосаэдр-додекаэдр", которая и начинает формировать новый виток ряда Фибоначчи (третья строка). Первые Платоновы тела как бы отражают фазу анализа, когда происходит разворачивание ВЕЛИКОГО ПРЕДЕЛА из монады (1,1). Вторая фаза -с интез новой монады и сворачивание ее в ВЕЛИКИЙ ПРЕДЕЛ. Так ряд Фибоначи порождает "золотую пропорцию", ответственную за рождение гармонии всего сущего, поэтому и Платоновы тела также будут характеризовать свойства всех материальных структур. Так, атомы всегда соотносятся с пятью Платоновыми телами. Даже если разбирать на части очень сложную молекулу, в ней можно найти более простые формы, и они всегда могут быть прослежены до одного из пяти Платоновых тел - независимо от того, какова ее структура. Не имеет значения, что это - металл, кристалл или что-то еще, - структура всегда восходит к одной из пяти первоначальных форм. Следовательно, мы приходим к выводу, что число используемых природой первозданных монадных форм является ограниченным и замкнутым. К такому же выводу пришел еще много веков назад Платон, который считал, что сложные частицы элементов имеют форму многогранников, при дроблении эти многогранники дают треугольники, которые и являются истинными элементами мира. Достигнув самой совершенной формы, природа берет эту форму в качестве элементарной и начинает строить следующие формы, используя последние в качестве «единичных» элементов. Поэтому все высшие формы неорганических, органических, биологических и полевых форм материи обязательно должны будут связаны с более простыми монадными кристаллами. Из этих форм должны строиться и самые сложные - высшие формы Высшего разума. И эти свойства монадных кристаллов должны проявляться на всех уровнях иерархии: в структуре элементарных частиц, в структуре Периодической системы элементарных частиц, в структуре атомов, в структуре Периодической системы химических элементов, и т.д. Так, в химических элементах, все подоболочки и оболочки могут быть представлены в форме монадных кристаллов. Естественно, что внутренняя структура атомов химических элементов должна отражаться в структуре кристаллов и клетках живых организмов. «Любая форма есть производное одного из пяти Платоновых тел. Без исключений. И не имеет значения, какова структура кристалла, она всегда основана на одном из Платоновых тел...» . Так в свойствах Платоновых тел отражается гармония золотого сечения и механизмы его порождения рядом Фибоначчи. И снова мы приходим к самому фундаментальному свойству ЕДИНОГО ЗАКОНА - ПЕРИОДИЧНОСТИ. Библейское "И ПОСЛЕДНИЙ СТАНОВИТСЯ ПЕРВЫМ" отражается во всех творениях мироздания. На следующем рисунке приводится схема хроматической гаммы, в которой 13-я нота находится за "границей осознанного мира", а любая соседняя пара может порождать новую хроматическую гамму (Законы Абсолюта ).
рис. 10 Данный рисунок отражает принципы, в соответствии с которыми формируется ЕДИНОЕ САМОСОГЛАСОВАННОЕ ПОЛЕ ГАРМОНИИ ВСЕЛЕННОЙ.

5. ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ И ПРИНЦИПЫ САМООРГАНИЗАЦИИ

5.1. САМОДОСТАТОЧНОСТЬ

Принципы саморганизации (самодостаточность, саморегулирование, самовоспроизведение, саморазвитие и самонормирование ) очень тесно связаны с золотым сечением. Рассматривая принципы самоорганизации и принципы нового мышления (О новом мышлении , О глобалистике ) был обоснован вывод о том, что понятие самодостаточность определяет долю вклада собственных целевых функций в общую целевую функцию того или иного объекта окружающего мира. Если собственная доля вклада в общую целевую функцию объект будет не ниже 2/3, то такой объект будет иметь "контрольный пакет акций" целевой функции объекта и, следовательно, будет являться самодостаточным , не "марионеточным" объектом. Но 2/3=0,66..., а золотая пропорция равна 0,618... Очень близкое совпадение, или..? Вот именно ИЛИ! Поэтому более точной количественное оценкой самодостаточности можно считать пропорцию золотого сечения. Однако для практического использования мерой самодостаточности, определяющей качественное состояние объекта, живет он в гармонии с окружающим миром, или нет, оценка 2/3 является даже предпочтительнее. Глубокая взаимосвязь этого принципа с золотым сечением показана на рис. 4, на котором рукой великого мастера -Л еонардо да Винчи были приведены самые замечательные свойства золотого сечения и их взаимосвязь с ЕДИНЫМ ЗАКОНОМ. И очень жаль, что ЭТОГО НЕ ПОНИМАЮТ ЕЩЕ МНОГИЕ УЧЕНЫЕ ДАЖЕ СЕГОДНЯ. ПОЗОР!!!

5.2. САМОВОСПРОИЗВЕДЕНИЕ. САМОРАЗВИТИЕ.

Из принципов построения универсальной логики ( ) следует, что бесконечномерная логика в рамках эволюции одного и того же семейства, формирует бинарную спираль.

рис. 11

В этой схеме узловые точки характеризует нисходящую спираль эволюции логического семейства бинарной спирали (правый винт). По индукции можно определить, что левый винт будет определять восходящую спираль этого семейства. Эта эволюционная бинарная спираль характеризует самовоспроизведение и саморазвитие логического семейства. Пусть мы имеем начальную логику < - i ,-1 >. Тогда, изображая оси комплексной системы отсчета в соответствии с правилом обхода тетраэдра по кресту, эволюцию логик можно отразить так, как показано на рис.12 рис. 12 Из схемы видно, что при каждом переходе от одной логики к другой, по направлению стрелок, происходит зеркальное самокопирование логики. И когда мы завершим "круг эволюции", то последняя и первая логики окажутся противоположными друг к другу. Следующая попытка приводит уже к логике бинарного удвоения, т.к. клетка оказывается занятой. В результате рождается логика, отличающаяся от первой масштабностью, вместо < -i,-1 > рождается пара < -2 i ,-2 >. Отметим, что последовательное зеркальное копирование логик приводит к их зеркальной инверсии по диагоналям. Так, по диагонали - i ,+1 мы имеем логики <- i ,-1> <+1,+ i >. Из правил обхода вершин тетраэдра по кресту мы получаем, что эти логики образуют крест в тетраэдре, если соответствующие ребра спроектировать на плоскость. П о диагонали -1,+ i мы получили взаимодополнительную пару логик <-1,- i > <+ i ,+1> , также образующую крест. На рис. 11, стороны квадратов ориентированы по направлению крещения. Поэтому противоположные стороны этого квадрата являются перекладинами креста. Отметим, что в тетраэдре существует еще и третий крест, образованной ребрами <+ i ,- i > и <-1,+1> . Но этот крест несет другие функции , о которых будет сказано в другом месте. Но схема на рис. 6 обосновывает только простое самовоспризводство логик. Оно может порождать многомерный мир "черно-белых" копий, которые могут характеризоваться только разными "оттенками". В соответствии с принципами самоорганизации логики должны иметь возможность к саморазвитию . И такая возможность реализуется (рис. 13). рис. 13 Здесь в квадрате II вначале происходит самокопирование исходной логики, а в третьем квадрате, происходит процесс саморазвития . Здесь вначале первый и второй квадрат складываются со сдвигом, а затем воспроизводятся в квадрате III . Затем полученная цепочка зеркально копируется в квадрат IV , где происходит "замыкание" цепочки. В результате рождается тетраэдр, с четырьмя вершинами, т.е. рождается комплексная логика. Так из пары <1,1> рождается пара <2,2>. Так рождается П ервый период Периодической системы логических элементов. Возьмем теперь вторую пару, состоящую из двух логических соседних подоболочек -<1,2>. расписывая эволюцию этой пары по квадратам в соответствии с вышеприведенными правилами, мы получим пару <3,3>. Присоединяя ее к начальной цепочке <1,1,2>, мы получим <1,1,2,3>/ Тогда эволюция пары <2,3> произведет пару <5,5> и, соответственно, цепочку <1,1,3,5,>. Нетрудно увидеть, что рождается ряд Фибоначчи , являющийся основой золотого сечения. И этот ряд рождается естественным образом, в основе его лежит Единый Периодический закон эволюции и вытекающие из него принципы самоорганизации (самодостаточность, саморегуляция , самовоспроизведение, саморазвитие, самонормирование ).

5.3. РЯД ФИБОНАЧЧИ И БИНАРНЫЙ РЯД

Возьмем теперь, в качестве логических пар целостную пару <2,2>. Эта пара будет характеризовать количественный состав первой логической оболочки. Тогда, в процессе ее "крещения" у нас произведется следующая бинарная пара <4,4>. Эта пара по своей структуре будет характеризовать звездный тетраэдр (или куб), имеющий восемь вершин. Мы получили первую подоболочку второго периода. Удвоение этих подоболочек даст пару <8,8>, эволюция которой приведет к паре <16,16>, а далее к паре <32,32>. Соединяя полученные бинарные пары в единую цепочку, мы получаем ряд <2, 8,16,32>. Именно такая последовательность характеризует количественный состав оболочек Периодической системы химических элементов. Таким образом, единство ряда Фибоначчи и бинарного ряда является неоспоримым фактом. Периодическая система химических элементов, бинарный ряд, ряд Фибоначчи и золотое сечение оказываются тесно взаимосвязанными.
Рис. 14 Из последней схемы видно, что производящие функции этих рядов еще и тесно взаимосвязаны с биномом Ньютона (1-х) - n .

Между рядом Фибоначчи и бинарным рядом также существует прямая связь (рис. 4)

Рис. 15

На этом рисунке видно, как из исходного соотношения (1-1-2), используя бинарный ряд, выстраивается весь ряд Фибоначчи. Эту схему приводит в своей книге Д. Мельхиседек ("Древняя тайна Цветка Жизни", том. 2, стр.283). Этот рисунок показывает семейное дерево трутня пчелы. Мельхиседек подчеркивает, что ряд Фибоначчи (1-1-2-3-5-8-13-...) является женским рядом, в то время как бинарный ряд (1-2-4-8-16-32-...) является мужским. И это правильно (Генная память , Информация , О времени ) . На указанных страницах приводится обоснование того, что генная память, возрождая Прошлое , или синтезируя Будущее, формирует именно бинарный ряд и именно по закону, приведенному на рисунке 4.

6. О ДРУГИХ СВОЙСТВАХ РЯДА ФИБОНАЧЧИ

Всем известно, что ритмы (волны) пронизывают всю нашу жизнь. Поэтому всеобщность пропорции золотого сечения необходимо проиллюстрировать и на примере волновых колебаний. Рассмотрим гармонический процесс колебаний струны (http://ftp.decsy.ru/nanoworld/index.htm ). На струне могут создаваться стоячие волны основной и высших гармоник (обертонов). Длины полуволн гармонического ряда соответствуют функции 1/ n , где n – натуральное число. Длины полуволн могут быть выражены в процентах от длины полуволны основной гармоники: 100%, 50%, 33%, 25%, 20%... В случае воздействия на произвольный участок струны будут возбуждаться все гармоники с различными амплитудными коэффициентами, которые зависят от координаты участка, от ширины участка и от частотно-временных характеристик воздействия. Учитывая разные знаки фаз четных и нечетных гармоник, можно получить знакопеременную функцию, которая выглядит приблизительно следующим образом: Если точку закрепления принять за начало отсчета, а середину струны за 100%, то максимум восприимчивости по 1-ой гармонике будет соответствовать 100%, по 2-й – 50%, по 3-ей – 33% и т.д. Посмотрим, где будет наша функция пересекать ось абсцисс. 62%, 38%, 23.6%, 14.6%, 9%, 5.6%, 3.44%, 2.13%,1.31%, 0.81%, 0.5%, 0.31%, 0.19%, 0.12%, ... Это пропорция золотого вурфа , под которым понимают последовательный ряд отрезков, когда смежные отрезки находятся в отношении золотого сечения. Каждое следующее число в 0.618 раз отличается от предыдущего. Получилось следующее: Возбуждение струны в точке, делящей ее в отношении золотого сечения на частоте близкой к основной гармонике, не вызовет колебаний струны, т.е. точка золотого сечения – это точка компенсации, демпфирования. Для демпфирования на более высоких частотах, к примеру, на 4-ой гармонике, точку компенсации нужно выбрать в 4-ом пересечении функции с осью абсцисс. Таким образом, периодичность изменения свойств двойственного отношения оказывается связана с нормой самодостаточности, рядом Фибоначчи, а также и со свойствами звездного тетраэдра, отражающего принцип восходящей и нисходящей спирали. Поэтому можно сказать, что тайны Золотого сечения, тайны ряда Фибоначчи, тайны их всеобщности в мире живой и неживой Природы больше не существует. Золотое сечение и ряд Фибоначчи отражают самую фундаментальную закономерность Иерархии - закономерность двойственности, а сам ряд Фибоначчиотражает не только одну из главных форм проявления этой закономерности -т риединство, но и характеризует нормы самодостаточности двойственного отношения в процессе его эволюции. 7. О СЛОЖНОМ ОТНОШЕНИИ Рассмотренные выше свойства золотого сечения и ряда Фибоначчи и их взаимосвязь, позволяют высказать предположение о связи с Единым законом эволюции двойственного отношения еще одного замечательного отношения, которое в проективной геометрии известно как сложное отношение точек ABCD . Рис. 16 Это число обладает тем свойством, что оно в точности одно и то же как. д ля изображения, так и для оригинала. Если вам нужно вычислить х , то не играет роли, измеряете ли вы расстояние на изображении или на самом участке. Фотокамера может обмануть. Она обманывает, когда выдает равные длины за неравные и прямые углы за непрямые. Единственное, что она не искажает,- это выражение Зн ачение этого выражения может быть найдено прямо из фотографии. И все, что можно с уверенностью утверждать, пользуясь свидетельством фотографии, может быть выражено в терминах таких величин. Обычно, в качестве сокращенной записи сложного отношения используется символ ABCD . Перерисуем теперь схему сложного отношения в пространственном виде Рис. 17 Известно, что золотое сечение выражается пропорцией где числитель является меньшим числом, а знаменатель-большим . Применительно к рисунку 17 золотая пропорция будет отражаться в треугольнике ABC , например, векторной суммой AB = BC + CA . Если углы между катетами будут равны нулю, то получим деление отрезка пополам. Если угол равен π / 2, то получим прямоугольный треугольник со сторонами 1, Ф , Ф 0,5 ; Следовательно, мы имеем исходное уравнение Ф 2 -Ф=1, записанное в векторной форме -г ипотенуза является единицей, а катеты являются ортогональными друг к другу, что и отражается в уравнении золотого сечения. При любом другом угле описываются некие замкнутые пространства. Сравнение рисунков 16 и 17 показывает также, что прямая линия (рис.16), порождающая сложное отношение, трансформируется в ломаную , и сложное отношение порождается процессом " обхода по кресту ". При этом Последняя вершина ломаной линии замыкается на П ервую . В результате мы получаем уже известное из животворящего креста

Рис. 18

правило рычага- "выигрываешь в силе, проигрываешь в расстоянии": - умножение перекладин креста и деление на длину плеч, определяющих переход с одной перекладины на другую. При построении этих более сложных отношений необходимо учитывать, что в формировании сложного отношения, точно также, как и в ряде Фибоначчи, участвуют только две соседних вершины ломаной линии. Это правило рычага, с использованием золотого сечения можно записать в следующем виде . А теперь мы можем построить сложное отношение на тетраэдре, учитывая, что расстояния от всех вершин пирамиды до точки О одинаково.

Рис. 19

Из рисунков 14-19 можно понять и принципы построения более сложных отношений, для пространств с большей мерностью, т.е. можно сказать, что n -мерное сложное отношение отражает процесс формирования монадного кристалла n -мерности и потому "упражнения" по формированию более сложных отношений могут иметь самостоятельный интерес (Сложное отношение ). Но все значения сложного отношения х , (1/х ), (х-1)/х , х /(х-1), 1/(1-х), (1-х), х ,... являются частями уравнения золотого сечения х 2 - х - 1 =0 или х (х -1) =1. 7. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ Рассмотренные выше свойства золотого сечения и, в первую очередь, свойства сложного отношения позволяют говорить о том, что золотое сечение формирует главный закон мироздания, отражающий в себе главный закон сохранения- закон сохранения золотого сечения . Соотношения x =0,618..., 1 / x =1,618, 1-1/ x =-0,618..., 1/(1-1/ x )=-1,618,.... образуют бесконечный ряд, в котором первые четыре значения образуют крест золотого сечения. При этом всякий раз, когда получается величина, большая значения золотого сечения, то происходит нормировка ОБЪЕКТа . От него вычленяется единица и процесс эволюции продолжается! Однако для пятого и шестого значений мы получаем значения " -2,616 " и " -0,382 ", после чего процесс начинается с начала. Полученный бесконечный ряд значений 0,618 и 1,618 является причиной, по которой золотое сечение лежит в основе гармонии мира. Закон сохранения (Законы сохранения) золотого сечения можно продемонстировать во вращающемся кресте (свастике). Ниже, на странице, вскрывающей тайны информации (Информация , О времени) будут показано, что золотое сечение, генная память лежат в основе самого понятия информации, о природных механизмах эволюции монады "ОБРАЗ-ПОДОБИЕ" во ВРЕМЕНИ. Таким образом, сущность нормирования сводится к получению пропорций золотого сечения, т.е. все чудесные свойства сложного отношения четырех точек определяются свойствами животворящего креста, что сложное отношение тесно взаимосвязано с золотым сечением, формируя закон сохранения золотого сечения. РЕЗЮМЕ 1. Ни у кого уже не возникает сомнений, что золотое сечение лежит в основе гармонии мироздания, а ряд Фибоначчи порождает эту замечательную пропорцию. Дополнительную информацию о свойствах золотого сечения любознательные читатели могут получить на сайте www. goldenmuseum . com . Эта поистине золотая пропорция имеет такое множество замечательных свойств, что открытие новых свойств уже ни у кого не вызывает удивления.